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Una parí¡bola (plural "parí¡bolas";. Gray 1997, p 45) es el conjunto de todos los puntos en el plano equidistante de una determinada lí­nea de L (La secciín cínica directriz ) y un punto dado F no en la lí­nea (el foco ). El parí¡metro focal (es decir, la distancia entre la directriz y el foco) viene dado por p = 2 a , Donde a es la distancia desde el vírtice a la directriz o foco. La superficie de revoluciín obtenida por rotaciín de una parí¡bola alrededor de su eje de simetrí­a se llama un paraboloide.


La parí¡bola fue estudiado por Menecmo en un intento de lograr la duplicaciín del cubo.

Menecmo resolvií el problema mediante la bísqueda de la intersecciín de las dos parí¡bolas x² = y y y²= 2x . Euclides escribií acerca de la parí¡bola, y se le dio su actual nombre de Apolonio. Pascal considerí la parí¡bola como una proyecciín de un cí­rculo , y Galileo mostraron que los proyectiles que caen bajo la gravedad uniforme de seguir caminos parabílicos. Gregory y Newton considera los catací¡ustica propiedades de una parí¡bola que traen los rayos de luz paralelos a un foco (MacTutor Archivo), como se ilustra arriba.

Para una parí¡bola que abre hacia la derecha con vírtice en (0, 0), la ecuaciín en coordenadas cartesianas es

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FNumberedEquation1.gif&hash=73df8e2ac529b0eacd9422a4c46f99791b6efb3f)
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(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FNumberedEquation3.gif&hash=14b4e47738edb4eb6e7bdc5cf30b925fe6f77805)
(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FNumberedEquation4.gif&hash=a70804df31d7d0a3c22a1212af8ff59f9896c6a0)

La cantidad (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline7.gif&hash=27abbdc36f3e05100997bc6c6e6d2a9e9ddf66c9) es conocido como el lado recto. Si el vírtice estí¡ en (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline8.gif&hash=fffc3affd568190c1fcd4b48d989c42cd9d01b02) en lugar de (0, 0), la ecuaciín de la parí¡bola es

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FNumberedEquation5.gif&hash=5676388f40c54218770e665a905714f3b9281996)

Si en lugar de la parí¡bola se abre hacia arriba, su ecuaciín es

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FNumberedEquation6.gif&hash=95065600f7ba330657a047334f356cc93659b2a1)


Tres puntos determinan de forma ínica una parí¡bola con directriz paralela a la x Ejes y una con paralelo a la directriz y Eje. Si estas parí¡bolas pasar a travís de los tres puntos  (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline11.gif&hash=acedf1aa7b88b13547e282b20801cc55acbc643a),  (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline12.gif&hash=05d6c377bcf927aa535c8caa43f4d851dd45acae), Y  (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline13.gif&hash=6fa5de457feedc007f2b946e1e79ea7a49b315a8), Estí¡n dadas por las ecuaciones

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FNumberedEquation7.gif&hash=90bee5a1fdabb4d24e59f04f5f7af419c3dd5317)

y

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FNumberedEquation8.gif&hash=1c0b20587670ddc82ecee49a6e06e2a464918988)


En coordenadas polares , la ecuaciín de una parí¡bola con el parí¡metro  y el centro (0, 0) viene dada por

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FNumberedEquation9.gif&hash=6385b8b8816754d0f74257b768312844f1679e69)

(Figura de la izquierda). La equivalencia con la forma cartesiana puede verse mediante la creaciín de un sistema de coordenadas (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline15.gif&hash=7ed9cccdab5ca6ff25f847b42f23f901d6ce4153) y enchufar (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline16.gif&hash=c4be36c1162a05a8bf17ff768024223015f69897) y (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline17.gif&hash=9b4fbb7b756f46aa995e55900edf985853626119) para obtener

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FNumberedEquation10.gif&hash=59956bfeb6651c44fe70c2ad7a71c5620d5f5ef0)

La ampliaciín y la recolecciín de tírminos,

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FNumberedEquation11.gif&hash=99740f0f5f12c678f7b49dc05dde125cefd06b7b)

así­ resolviendo para (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline18.gif&hash=7c9646678af8e55dc240f6574b82b920c3163575) da (â—‡). Un conjunto de parí¡bolas confocales se muestra en la figura a la derecha.

En las coordenadas del pedal con el punto de pedal en el foco , la ecuaciín es

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FNumberedEquation12.gif&hash=a39cd20bee804bf9fc8662594233df1cc7e13bf3)

La parí¡bola puede ser escrito como paramítricamente

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline21.gif&hash=6c5d7f80295cc6d56f50d068aac462693f27d99e)
(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline23.gif&hash=50398aefc090c1aa4057bf7484b37c33c2e4f691)

o

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline26.gif&hash=7bfb3e3b870381e7f580e810732579222158f4bd)
(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline29.gif&hash=69f83d83acd52d4826e1db8cde05e09a1c6078b7)

Un segmento de una parí¡bola es una curva de Lissajous.


Una parí¡bola puede ser generada como la envolvente de dos segmentos de lí­nea concurrentes mediante la conexiín de puntos opuestos sobre las dos lí­neas (Wells 1991).


En la figura anterior, las lí­neas (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline31.gif&hash=34ffa35cc11bc6248575c89723b5b6bab8ec3e1d), (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline32.gif&hash=d038359563527c1d0f038999338c14fb6b658a4f) y (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline33.gif&hash=00ad7d7f2d9698685573d8efef3a7fdc3f1474a8) son tangentes a la parí¡bola en puntos A, B y 0 Respectivamente. Entonces (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline37.gif&hash=d3cc155447446921b351f1d6d58ac8afe2873d08) (Wells 1991). Ademí¡s, el cí­rculo circunscrito de (https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline38.gif&hash=6f0086bc1f624862c733afd81bf610ea6fbb8f10)  pasa a travís del foco F (Honsberger 1995, p. 47). Ademí¡s, el pie de la perpendicular a una tangente a una parí¡bola de la atenciín siempre se encuentra en la tangente en el vírtice (Honsberger 1995, pí¡g. 48).


Dado un punto arbitrario P encuentra "fuera" una parí¡bola, la tangente o tangentes a la parí¡bola a travís P puede ser construido mediante la elaboraciín del cí­rculo que tiene P F como un dií¡metro , donde F es el foco . A continuaciín, busque los puntos A y B en la que el cí­rculo corta la tangente vertical a travís V. Los puntos T_a y T_b (Que se puede contraer a un punto ínico en el caso degenerado) son entonces los puntos de tangencia de las lí­neas P A y P B y la parí¡bola (Wells 1991).

La curvatura , la longitud del arco , y el í¡ngulo tangencial son

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline53.gif&hash=7d4e12c5c6680f725c30db7486f39b0d21f31df5)
(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline56.gif&hash=e7c41e503f6bdd8d81786ab7caec2d60a7107b16)
(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline59.gif&hash=bfe616d48ee320270109bc1bdf54a3ddef95445b)

El vector tangente de la parí¡bola es

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline62.gif&hash=363f7978e3e39d938a19ea13e97d5b90ab12fea3)
(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Fequations%2FParabola%2FInline65.gif&hash=e950b215a58a9220b9a05411f9eeb6a3d2004307)

Las parcelas a continuaciín muestran los vectores normales y tangentes a una parí¡bola.

(https://www.arg-wireless.com.ar/proxy.php?request=http%3A%2F%2Fmathworld.wolfram.com%2Fimages%2Feps-gif%2FParabolaNormalTangent_1000.gif&hash=ad54a86a248b6388317ea43414beef50c78c3ce2)

FUENTE: http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html (http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html)